さわやか会社員

学生です。

やってること1(位相幾何学)

結び目理論を学んでいます。

 

結び目理論は幾何学、中でも位相幾何学と呼ばれる分野に属する領域です。

 

位相幾何学ってどんな幾何学?という問いには、コーヒーカップとドーナツの例がしばしば使われます。

 

  • コーヒーカップとドーナツは互いに連続的な変形で移りあいます。
  • 一方で、サッカーボールにどんな連続的な変形を施してもコーヒーカップには移りません。

 

この「連続的な変形」を定式化し、厳密な議論によって上のことを証明するのが位相幾何学のひとつの目的です。連続的な変形で移りあう2つの図形は、互いに「同相」であるといいます。

これは、中学校で学ぶ図形の間の合同、相似という関係の仲間です。

 

二つの図形が合同であることと、片方の図形を

  • 平行移動
  • 回転

の2つの操作を施して、もう一方の図形に移すことができることは同じ意味です。

2つの図形が相似であることはこれに加えて

  • 拡大・縮小

の操作を許します。これらの3つの操作はいずれも上で述べた「連続的な変形」に属します。したがって同相であることはこれらよりも緩い条件で定義された関係であるといえます。

 

合同、相似という関係は、角度を保ちます。例えば相似な2つの三角形の角度はすべて等しかったですよね。したがって3角形と4角形は相似になり得ません。ところが同相であるためには角度を保つ必要はありません。例えば、円と3角形は同相です。また、3角形と100角形も同相です。

 

これは、図形の境界の部分を、ぐにゃぐにゃと曲げてもよいということです。この意味で、位相幾何学は「柔らかい幾何学」とも呼ばれます。

 

このような枠組みの中で、位相幾何を専門とする研究者はどのようなことを問題としているのかというと、

図形の分類

が主なものの一つとして挙げられると思います。(ほかにも大きなものがあるかもしれませんが、僕の関心が向いていないので書けません。)

同相という言葉を定義したことで、二つの図形が同じということの意味を定式化しました。この定式化に基づいて同相なものはひとまとめにして、図形にはいったいどれくらい種類があるのか、またどのような違いがあるのかということを考えるわけです。

 

位相幾何学の導入とその目的について書きました。結び目理論についてはまた次回以降書きます。